Løs sqrt{(7-x)^2+(1-y)^2}=sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2}

$$\sqrt { ( 7 - x ) ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( 3 - x ) ^ { 2 } + ( 5 - y ) ^ { 2 } }$$

Løs for x

$$x=y+2$$

Løsningstrinn

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Legg sammen 49 og 1 for å få 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} opphøyd i 2 og få 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Legg sammen 9 og 25 for å få 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} opphøyd i 2 og få 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Legg til 6x på begge sider.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+6x=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Kombiner -14x og 6x for å få -8x.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}-x^{2}=34-10y+y^{2}$$

Kombiner x^{2} og -x^{2} for å få 0.

$$50-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}$$

Trekk fra 50 fra begge sider.

$$-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}-50$$

Trekk fra 50 fra 34 for å få -16.

$$-8x-2y+y^{2}=-16-10y+y^{2}$$

Legg til 2y på begge sider.

$$-8x+y^{2}=-16-10y+y^{2}+2y$$

Kombiner -10y og 2y for å få -8y.

$$-8x+y^{2}=-16-8y+y^{2}$$

Trekk fra y^{2} fra begge sider.

$$-8x=-16-8y+y^{2}-y^{2}$$

Kombiner y^{2} og -y^{2} for å få 0.

$$-8x=-16-8y$$

Ligningen er i standardform.

$$-8x=-8y-16$$

Del begge sidene på -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{-8y-16}{-8}$$

Hvis du deler på -8, gjør du om gangingen med -8.

$$x=\frac{-8y-16}{-8}$$

Del -16-8y på -8.

$$x=y+2$$

Erstatt y+2 med x i ligningen \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}$$

Forenkle. Verdien x=y+2 tilfredsstiller ligningen.

$$\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}$$

Ligningen \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} har en unik løsning.

$$x=y+2$$

Løs for y

$$y=x-2$$

Løsningstrinn

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Legg sammen 49 og 1 for å få 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} opphøyd i 2 og få 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Legg sammen 9 og 25 for å få 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} opphøyd i 2 og få 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Legg til 10y på begge sider.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+10y=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Kombiner -2y og 10y for å få 8y.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Trekk fra y^{2} fra begge sider.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}-y^{2}=34-6x+x^{2}$$

Kombiner y^{2} og -y^{2} for å få 0.

$$50-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}$$

Trekk fra 50 fra begge sider.

$$-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}-50$$

Trekk fra 50 fra 34 for å få -16.

$$-14x+x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}$$

Legg til 14x på begge sider.

$$x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}+14x$$

Kombiner -6x og 14x for å få 8x.

$$x^{2}+8y=-16+8x+x^{2}$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$8y=-16+8x+x^{2}-x^{2}$$

Kombiner x^{2} og -x^{2} for å få 0.

$$8y=-16+8x$$

Ligningen er i standardform.

$$8y=8x-16$$

Del begge sidene på 8.

$$\frac{8y}{8}=\frac{8x-16}{8}$$

Hvis du deler på 8, gjør du om gangingen med 8.

$$y=\frac{8x-16}{8}$$

Del -16+8x på 8.

$$y=x-2$$

Erstatt x-2 med y i ligningen \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-\left(x-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-\left(x-2\right)\right)^{2}}$$

Forenkle. Verdien y=x-2 tilfredsstiller ligningen.

$$\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}$$

Ligningen \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} har en unik løsning.

$$y=x-2$$