Løs {l}{y-2x=4}{2x+3y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right\}$$

Løs for y, x

$$x=2$$

$$y=8$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Velg én av ligningene, og løs den for y ved å isolere y på venstre side av likhetstegnet.

$$y-2x=4$$

Legg til 2x på begge sider av ligningen.

$$y=2x+4$$

Sett inn 4+2x for y i den andre formelen, 3y+2x=28.

$$3\left(2x+4\right)+2x=28$$

Multipliser 3 ganger 4+2x.

$$6x+12+2x=28$$

Legg sammen 6x og 2x.

$$8x+12=28$$

Trekk fra 12 fra begge sider av ligningen.

$$8x=16$$

Del begge sidene på 8.

$$x=2$$

Sett inn 2 for x i y=2x+4. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y=2\times 2+4$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$y=4+4$$

Legg sammen 4 og 4.

$$y=8$$

Systemet er nå løst.

$$y=8,x=2$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 28\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 28\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene y og x.

$$y=8,x=2$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

For å gjøre y og 3y lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 3 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=3\times 4,3y+2x=28$$

Forenkle.

$$3y-6x=12,3y+2x=28$$

Trekk fra 3y+2x=28 fra 3y-6x=12 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$3y-3y-6x-2x=12-28$$

Legg sammen 3y og -3y. Vilkårene 3y og -3y eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-6x-2x=12-28$$

Legg sammen -6x og -2x.

$$-8x=12-28$$

Legg sammen 12 og -28.

$$-8x=-16$$

Del begge sidene på -8.

$$x=2$$

Sett inn 2 for x i 3y+2x=28. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$3y+2\times 2=28$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$3y+4=28$$

Trekk fra 4 fra begge sider av ligningen.

$$3y=24$$

Del begge sidene på 3.

$$y=8$$

Systemet er nå løst.

$$y=8,x=2$$