Løs {l}{y=3x}{x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x } \\ { x + y = 16 } \end{array} \right\}$$

Løs for y, x

$$x=4$$

$$y=12$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Vurder den første formelen. Trekk fra 3x fra begge sider.

$$y-3x=0$$

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Velg én av ligningene, og løs den for y ved å isolere y på venstre side av likhetstegnet.

$$y-3x=0$$

Legg til 3x på begge sider av ligningen.

$$y=3x$$

Sett inn 3x for y i den andre formelen, y+x=16.

$$3x+x=16$$

Legg sammen 3x og x.

$$4x=16$$

Del begge sidene på 4.

$$x=4$$

Sett inn 4 for x i y=3x. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y=3\times 4$$

Multipliser 3 ganger 4.

$$y=12$$

Systemet er nå løst.

$$y=12,x=4$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Vurder den første formelen. Trekk fra 3x fra begge sider.

$$y-3x=0$$

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{4}\times 16\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene y og x.

$$y=12,x=4$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Vurder den første formelen. Trekk fra 3x fra begge sider.

$$y-3x=0$$

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Trekk fra y+x=16 fra y-3x=0 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$y-y-3x-x=-16$$

Legg sammen y og -y. Vilkårene y og -y eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-3x-x=-16$$

Legg sammen -3x og -x.

$$-4x=-16$$

Del begge sidene på -4.

$$x=4$$

Sett inn 4 for x i y+x=16. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y+4=16$$

Trekk fra 4 fra begge sider av ligningen.

$$y=12$$

Systemet er nå løst.

$$y=12,x=4$$