Løs {l}{x=-y}{2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - y } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Løs for x, y

$$x=5$$

$$y=-5$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Vurder den første formelen. Legg til y på begge sider.

$$x+y=0$$

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$x+y=0$$

Trekk fra y fra begge sider av ligningen.

$$x=-y$$

Sett inn -y for x i den andre formelen, 2x+y=5.

$$2\left(-1\right)y+y=5$$

Multipliser 2 ganger -y.

$$-2y+y=5$$

Legg sammen -2y og y.

$$-y=5$$

Del begge sidene på -1.

$$y=-5$$

Sett inn -5 for y i x=-y. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=-\left(-5\right)$$

Multipliser -1 ganger -5.

$$x=5$$

Systemet er nå løst.

$$x=5,y=-5$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Vurder den første formelen. Legg til y på begge sider.

$$x+y=0$$

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=5,y=-5$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Vurder den første formelen. Legg til y på begge sider.

$$x+y=0$$

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Trekk fra 2x+y=5 fra x+y=0 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$x-2x+y-y=-5$$

Legg sammen y og -y. Vilkårene y og -y eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$x-2x=-5$$

Legg sammen x og -2x.

$$-x=-5$$

Del begge sidene på -1.

$$x=5$$

Sett inn 5 for x i 2x+y=5. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$2\times 5+y=5$$

Multipliser 2 ganger 5.

$$10+y=5$$

Trekk fra 10 fra begge sider av ligningen.

$$y=-5$$

Systemet er nå løst.

$$x=5,y=-5$$