Løs {l}{x+y=5}{x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 5 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right\}$$

Løs for x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$x+y=5,x-y=1$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$x+y=5$$

Trekk fra y fra begge sider av ligningen.

$$x=-y+5$$

Sett inn -y+5 for x i den andre formelen, x-y=1.

$$-y+5-y=1$$

Legg sammen -y og -y.

$$-2y+5=1$$

Trekk fra 5 fra begge sider av ligningen.

$$-2y=-4$$

Del begge sidene på -2.

$$y=2$$

Sett inn 2 for y i x=-y+5. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=-2+5$$

Legg sammen 5 og -2.

$$x=3$$

Systemet er nå løst.

$$x=3,y=2$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$x+y=5,x-y=1$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=3,y=2$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$x+y=5,x-y=1$$

Trekk fra x-y=1 fra x+y=5 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$x-x+y+y=5-1$$

Legg sammen x og -x. Vilkårene x og -x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$y+y=5-1$$

Legg sammen y og y.

$$2y=5-1$$

Legg sammen 5 og -1.

$$2y=4$$

Del begge sidene på 2.

$$y=2$$

Sett inn 2 for y i x-y=1. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x-2=1$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$x=3$$

Systemet er nå løst.

$$x=3,y=2$$