Løs {l}{x+2y=60}{x-y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 60 } \\ { x - y = 30 } \end{array} \right\}$$

Løs for x, y

$$x=40$$

$$y=10$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$x+2y=60$$

Trekk fra 2y fra begge sider av ligningen.

$$x=-2y+60$$

Sett inn -2y+60 for x i den andre formelen, x-y=30.

$$-2y+60-y=30$$

Legg sammen -2y og -y.

$$-3y+60=30$$

Trekk fra 60 fra begge sider av ligningen.

$$-3y=-30$$

Del begge sidene på -3.

$$y=10$$

Sett inn 10 for y i x=-2y+60. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=-2\times 10+60$$

Multipliser -2 ganger 10.

$$x=-20+60$$

Legg sammen 60 og -20.

$$x=40$$

Systemet er nå løst.

$$x=40,y=10$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 60+\frac{2}{3}\times 30\\\frac{1}{3}\times 60-\frac{1}{3}\times 30\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=40,y=10$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Trekk fra x-y=30 fra x+2y=60 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$x-x+2y+y=60-30$$

Legg sammen x og -x. Vilkårene x og -x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$2y+y=60-30$$

Legg sammen 2y og y.

$$3y=60-30$$

Legg sammen 60 og -30.

$$3y=30$$

Del begge sidene på 3.

$$y=10$$

Sett inn 10 for y i x-y=30. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x-10=30$$

Legg til 10 på begge sider av ligningen.

$$x=40$$

Systemet er nå løst.

$$x=40,y=10$$