Løs {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Løs for x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$2x+y=3$$

Trekk fra y fra begge sider av ligningen.

$$2x=-y+3$$

Del begge sidene på 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Multipliser \frac{1}{2} ganger -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Sett inn \frac{-y+3}{2} for x i den andre formelen, x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Legg sammen -\frac{y}{2} og y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Trekk fra \frac{3}{2} fra begge sider av ligningen.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Multipliser begge sider med 2.

$$y=7$$

Sett inn 7 for y i x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Multipliser -\frac{1}{2} ganger 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Legg sammen \frac{3}{2} og -\frac{7}{2} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=-2$$

Systemet er nå løst.

$$x=-2,y=7$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=-2,y=7$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Trekk fra x+y=5 fra 2x+y=3 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Legg sammen y og -y. Vilkårene y og -y eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$2x-x=3-5$$

Legg sammen 2x og -x.

$$x=3-5$$

Legg sammen 3 og -5.

$$x=-2$$

Sett inn -2 for x i x+y=5. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$-2+y=5$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$y=7$$

Systemet er nå løst.

$$x=-2,y=7$$