Løs ∫ (from 1 to 2) of 5left(5x-3right)^2 wrt x

$$\int_{ 1 }^{ 2 } 5 { \left(5x-3 \right) }^{ 2 } d x$$

Evaluer

$$\frac{335}{3}\approx 111,666666667$$

Løsningstrinn

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(5x-3\right)^{2}.

$$\int _{1}^{2}5\left(25x^{2}-30x+9\right)\mathrm{d}x$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 5 med 25x^{2}-30x+9.

$$\int _{1}^{2}125x^{2}-150x+45\mathrm{d}x$$

Evaluer det ubestemte integralet først.

$$\int 125x^{2}-150x+45\mathrm{d}x$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int 125x^{2}\mathrm{d}x+\int -150x\mathrm{d}x+\int 45\mathrm{d}x$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$125\int x^{2}\mathrm{d}x-150\int x\mathrm{d}x+\int 45\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multipliser 125 ganger \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{125x^{3}}{3}-150\int x\mathrm{d}x+\int 45\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multipliser -150 ganger \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{125x^{3}}{3}-75x^{2}+\int 45\mathrm{d}x$$

Finn integralet for 45 ved hjelp av tabellen med felles integrals regel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{125x^{3}}{3}-75x^{2}+45x$$

Det uthevede integralet er den antideriverte i uttrykket som evalueres ved øvre grense for integrasjon minus den antideriverte som evalueres ved nedre grense for integrasjon.

$$\frac{125}{3}\times 2^{3}-75\times 2^{2}+45\times 2-\left(\frac{125}{3}\times 1^{3}-75\times 1^{2}+45\times 1\right)$$

Forenkle.

$$\frac{335}{3}$$