Løs ∫ (from -1 to 3) of x^3+3x^2 wrt x

$$\int_{ -1 }^{ 3 } { x }^{ 3 } +3 { x }^{ 2 } d x$$

Evaluer

$$48$$

Løsningstrinn

Evaluer det ubestemte integralet først.

$$\int x^{3}+3x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 3x^{2}\mathrm{d}x$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+3\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{3}\mathrm{d}x med \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}+3\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multipliser 3 ganger \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}+x^{3}$$

Det uthevede integralet er den antideriverte i uttrykket som evalueres ved øvre grense for integrasjon minus den antideriverte som evalueres ved nedre grense for integrasjon.

$$\frac{3^{4}}{4}+3^{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{4}}{4}+\left(-1\right)^{3}\right)$$

Forenkle.

$$48$$