Løs ∫ left(1+xright)^2 wrt x

$$\int{ { \left(1+x \right) }^{ 2 } }d x$$

Evaluer

$$\frac{\left(x+1\right)^{3}}{3}+С$$

Løsningstrinn

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(1+x\right)^{2}.

$$\int 1+2x+x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int 1\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$\int 1\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Finn integralet for 1 ved hjelp av tabellen med felles integrals regel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$x+2\int x\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multipliser 2 ganger \frac{x^{2}}{2}.

$$x+x^{2}+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}.

$$x+x^{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Hvis F\left(x\right) er en antiderivert av f\left(x\right), angis settet med alle antideriverte av f\left(x\right) av F\left(x\right)+C. Legg derfor til konstanten av integrering C\in \mathrm{R} i resultatet.

$$x+x^{2}+\frac{x^{3}}{3}+С$$

Differensier med hensyn til x

$$\left(x+1\right)^{2}$$