Løs ∫ left(x^2-6right)^2 wrt x

$$\int{ { \left( { x }^{ 2 } -6 \right) }^{ 2 } }d x$$

Evaluer

$$\frac{x^{5}}{5}-4x^{3}+36x+С$$

Løsningstrinn

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x^{2}-6\right)^{2}.

$$\int \left(x^{2}\right)^{2}-12x^{2}+36\mathrm{d}x$$

Hvis du vil opphøye potensen til et tall til en annen potens, multipliserer du eksponentene. Multipliser 2 og 2 for å få 4.

$$\int x^{4}-12x^{2}+36\mathrm{d}x$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int -12x^{2}\mathrm{d}x+\int 36\mathrm{d}x$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x-12\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 36\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{4}\mathrm{d}x med \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{5}}{5}-12\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 36\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multipliser -12 ganger \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{5}}{5}-4x^{3}+\int 36\mathrm{d}x$$

Finn integralet for 36 ved hjelp av tabellen med felles integrals regel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{5}}{5}-4x^{3}+36x$$

Hvis F\left(x\right) er en antiderivert av f\left(x\right), angis settet med alle antideriverte av f\left(x\right) av F\left(x\right)+C. Legg derfor til konstanten av integrering C\in \mathrm{R} i resultatet.

$$36x-4x^{3}+\frac{x^{5}}{5}+С$$

Differensier med hensyn til x

$$\left(x^{2}-6\right)^{2}$$