Løs ∫ x(x+1)^2

$$\int x ( x + 1 ) ^ { 2 }$$

Evaluer

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+С$$

Løsningstrinn

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+1\right)^{2}.

$$\int x\left(x^{2}+2x+1\right)\mathrm{d}x$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x med x^{2}+2x+1.

$$\int x^{3}+2x^{2}+x\mathrm{d}x$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 2x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{3}\mathrm{d}x med \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}+2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multipliser 2 ganger \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+\int x\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}$$

Forenkle.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}$$

Hvis F\left(x\right) er en antiderivert av f\left(x\right), angis settet med alle antideriverte av f\left(x\right) av F\left(x\right)+C. Legg derfor til konstanten av integrering C\in \mathrm{R} i resultatet.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}+С$$

Differensier med hensyn til x

$$x\left(x+1\right)^{2}$$