Løs ∫ (from 3 to 4) of -x^2+7x-12

$$\int _ { 3 } ^ { 4 } - x ^ { 2 } + 7 x - 12$$

Evaluer

$$\frac{1}{6}\approx 0,166666667$$

Løsningstrinn

Evaluer det ubestemte integralet først.

$$\int -x^{2}+7x-12\mathrm{d}x$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int 7x\mathrm{d}x+\int -12\mathrm{d}x$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$-\int x^{2}\mathrm{d}x+7\int x\mathrm{d}x+\int -12\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multipliser -1 ganger \frac{x^{3}}{3}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+7\int x\mathrm{d}x+\int -12\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multipliser 7 ganger \frac{x^{2}}{2}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{7x^{2}}{2}+\int -12\mathrm{d}x$$

Finn integralet for -12 ved hjelp av tabellen med felles integrals regel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{7x^{2}}{2}-12x$$

Det uthevede integralet er den antideriverte i uttrykket som evalueres ved øvre grense for integrasjon minus den antideriverte som evalueres ved nedre grense for integrasjon.

$$-\frac{4^{3}}{3}+\frac{7}{2}\times 4^{2}-12\times 4-\left(-\frac{3^{3}}{3}+\frac{7}{2}\times 3^{2}-12\times 3\right)$$

Forenkle.

$$\frac{1}{6}$$