Løs ∫ (from 1 to 5) of (1-x)(x-5) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 5 } ( 1 - x ) ( x - 5 ) d x$$

Evaluer

$$\frac{32}{3}\approx 10,666666667$$

Løsningstrinn

Bruk den distributive lov ved å multiplisere hvert ledd i 1-x med hvert ledd i x-5.

$$\int _{1}^{5}x-5-x^{2}+5x\mathrm{d}x$$

Kombiner x og 5x for å få 6x.

$$\int _{1}^{5}6x-5-x^{2}\mathrm{d}x$$

Evaluer det ubestemte integralet først.

$$\int 6x-5-x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int 6x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$6\int x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multipliser 6 ganger \frac{x^{2}}{2}.

$$3x^{2}+\int -5\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Finn integralet for -5 ved hjelp av tabellen med felles integrals regel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$3x^{2}-5x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multipliser -1 ganger \frac{x^{3}}{3}.

$$3x^{2}-5x-\frac{x^{3}}{3}$$

Det uthevede integralet er den antideriverte i uttrykket som evalueres ved øvre grense for integrasjon minus den antideriverte som evalueres ved nedre grense for integrasjon.

$$3\times 5^{2}-5\times 5-\frac{5^{3}}{3}-\left(3\times 1^{2}-5-\frac{1^{3}}{3}\right)$$

Forenkle.

$$\frac{32}{3}$$