Løs ∫ (from 1 to 3) of (3x^2+2x+1) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 3 } ( 3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 ) d x$$

Evaluer

$$36$$

Løsningstrinn

Evaluer det ubestemte integralet først.

$$\int 3x^{2}+2x+1\mathrm{d}x$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int 3x^{2}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$3\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multipliser 3 ganger \frac{x^{3}}{3}.

$$x^{3}+2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multipliser 2 ganger \frac{x^{2}}{2}.

$$x^{3}+x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Finn integralet for 1 ved hjelp av tabellen med felles integrals regel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$x^{3}+x^{2}+x$$

Det uthevede integralet er den antideriverte i uttrykket som evalueres ved øvre grense for integrasjon minus den antideriverte som evalueres ved nedre grense for integrasjon.

$$3^{3}+3^{2}+3-\left(1^{3}+1^{2}+1\right)$$

Forenkle.

$$36$$