Løs ∫ (from 1 to 2) of y-1/y wrt y

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } y - \frac { 1 } { y } d y$$

Evaluer

$$\frac{3}{2}-\ln(2)\approx 0,806852819$$

Løsningstrinn

Evaluer det ubestemte integralet først.

$$\int y-\frac{1}{y}\mathrm{d}y$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -\frac{1}{y}\mathrm{d}y$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$\int y\mathrm{d}y-\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y$$

Siden \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int y\mathrm{d}y med \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y$$

Bruk \int \frac{1}{y}\mathrm{d}y=\ln(|y|) fra tabellen med felles integraler for å få resultatet.

$$\frac{y^{2}}{2}-\ln(|y|)$$

Det uthevede integralet er den antideriverte i uttrykket som evalueres ved øvre grense for integrasjon minus den antideriverte som evalueres ved nedre grense for integrasjon.

$$\frac{2^{2}}{2}-\ln(|2|)-\left(\frac{1^{2}}{2}-\ln(|1|)\right)$$

Forenkle.

$$\frac{3}{2}-\ln(2)$$