Løs ∫ (from 1 to 2) of (1/sqrt{x}-x) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { \sqrt { x } } - x ) d x$$

Evaluer

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}\approx -0,671572875$$

Løsningstrinn

Evaluer det ubestemte integralet først.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}-x\mathrm{d}x$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Skriv om \frac{1}{\sqrt{x}} som x^{-\frac{1}{2}}. Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x med \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}. Forenkle og konverter fra eksponentiell til radikal form.

$$2\sqrt{x}-\int x\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multipliser -1 ganger \frac{x^{2}}{2}.

$$2\sqrt{x}-\frac{x^{2}}{2}$$

Det uthevede integralet er den antideriverte i uttrykket som evalueres ved øvre grense for integrasjon minus den antideriverte som evalueres ved nedre grense for integrasjon.

$$2\times 2^{\frac{1}{2}}-\frac{2^{2}}{2}-\left(2\times 1^{\frac{1}{2}}-\frac{1^{2}}{2}\right)$$

Forenkle.

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}$$