Løs ∫ (from 0 to 3) of {(3y-y^2)-(3-y) wrt y

$$\int _ { 0 } ^ { 3 } \{ ( 3 y - y ^ { 2 } ) - ( 3 - y ) \} d y$$

Evaluer

$$0$$

Løsningstrinn

Du finner den motsatte av 3-y ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$\int _{0}^{3}3y-y^{2}-3+y\mathrm{d}y$$

Kombiner 3y og y for å få 4y.

$$\int _{0}^{3}4y-y^{2}-3\mathrm{d}y$$

Evaluer det ubestemte integralet først.

$$\int 4y-y^{2}-3\mathrm{d}y$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int 4y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y+\int -3\mathrm{d}y$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$4\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y+\int -3\mathrm{d}y$$

Siden \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int y\mathrm{d}y med \frac{y^{2}}{2}. Multipliser 4 ganger \frac{y^{2}}{2}.

$$2y^{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y+\int -3\mathrm{d}y$$

Siden \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int y^{2}\mathrm{d}y med \frac{y^{3}}{3}. Multipliser -1 ganger \frac{y^{3}}{3}.

$$2y^{2}-\frac{y^{3}}{3}+\int -3\mathrm{d}y$$

Finn integralet for -3 ved hjelp av tabellen med felles integrals regel \int a\mathrm{d}y=ay.

$$2y^{2}-\frac{y^{3}}{3}-3y$$

Det uthevede integralet er den antideriverte i uttrykket som evalueres ved øvre grense for integrasjon minus den antideriverte som evalueres ved nedre grense for integrasjon.

$$2\times 3^{2}-\frac{3^{3}}{3}-3\times 3-\left(2\times 0^{2}-\frac{0^{3}}{3}-3\times 0\right)$$

Forenkle.

$$0$$