Løs ∫ (from 0 to 2) of x(x^2-3)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } x ( x ^ { 2 } - 3 ) ^ { 2 } d x$$

Evaluer

$$\frac{14}{3}\approx 4,666666667$$

Løsningstrinn

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x^{2}-3\right)^{2}.

$$\int _{0}^{2}x\left(\left(x^{2}\right)^{2}-6x^{2}+9\right)\mathrm{d}x$$

Hvis du vil opphøye potensen til et tall til en annen potens, multipliserer du eksponentene. Multipliser 2 og 2 for å få 4.

$$\int _{0}^{2}x\left(x^{4}-6x^{2}+9\right)\mathrm{d}x$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x med x^{4}-6x^{2}+9.

$$\int _{0}^{2}x^{5}-6x^{3}+9x\mathrm{d}x$$

Evaluer det ubestemte integralet først.

$$\int x^{5}-6x^{3}+9x\mathrm{d}x$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int x^{5}\mathrm{d}x+\int -6x^{3}\mathrm{d}x+\int 9x\mathrm{d}x$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$\int x^{5}\mathrm{d}x-6\int x^{3}\mathrm{d}x+9\int x\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{5}\mathrm{d}x med \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{x^{6}}{6}-6\int x^{3}\mathrm{d}x+9\int x\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{3}\mathrm{d}x med \frac{x^{4}}{4}. Multipliser -6 ganger \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{6}}{6}-\frac{3x^{4}}{2}+9\int x\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multipliser 9 ganger \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{6}}{6}-\frac{3x^{4}}{2}+\frac{9x^{2}}{2}$$

Forenkle.

$$\frac{9x^{2}}{2}-\frac{3x^{4}}{2}+\frac{x^{6}}{6}$$

Det uthevede integralet er den antideriverte i uttrykket som evalueres ved øvre grense for integrasjon minus den antideriverte som evalueres ved nedre grense for integrasjon.

$$\frac{9}{2}\times 2^{2}-\frac{3}{2}\times 2^{4}+\frac{2^{6}}{6}-\left(\frac{9}{2}\times 0^{2}-\frac{3}{2}\times 0^{4}+\frac{0^{6}}{6}\right)$$

Forenkle.

$$\frac{14}{3}$$