Løs ∫ (from 0 to 1) of sqrt{x}-x^2

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { x } - x ^ { 2 }$$

Evaluer

$$\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Løsningstrinn

Evaluer det ubestemte integralet først.

$$\int \sqrt{x}-x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Skriv om \sqrt{x} som x^{\frac{1}{2}}. Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x med \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Forenkle.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multipliser -1 ganger \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}-x^{3}}{3}$$

Det uthevede integralet er den antideriverte i uttrykket som evalueres ved øvre grense for integrasjon minus den antideriverte som evalueres ved nedre grense for integrasjon.

$$\frac{2}{3}\times 1^{\frac{3}{2}}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{2}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Forenkle.

$$\frac{1}{3}$$