Løs ∫ (from 0 to 1) of 1/3-1/3y^3 wrt y

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 3 } y ^ { 3 } d y$$

Evaluer

$$\frac{1}{4}=0,25$$

Løsningstrinn

Evaluer det ubestemte integralet først.

$$\int \frac{1-y^{3}}{3}\mathrm{d}y$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int \frac{1}{3}\mathrm{d}y+\int -\frac{y^{3}}{3}\mathrm{d}y$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$\int \frac{1}{3}\mathrm{d}y-\frac{\int y^{3}\mathrm{d}y}{3}$$

Finn integralet for \frac{1}{3} ved hjelp av tabellen med felles integrals regel \int a\mathrm{d}y=ay.

$$\frac{y-\int y^{3}\mathrm{d}y}{3}$$

Siden \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int y^{3}\mathrm{d}y med \frac{y^{4}}{4}. Multipliser -\frac{1}{3} ganger \frac{y^{4}}{4}.

$$\frac{y}{3}-\frac{y^{4}}{12}$$

Det uthevede integralet er den antideriverte i uttrykket som evalueres ved øvre grense for integrasjon minus den antideriverte som evalueres ved nedre grense for integrasjon.

$$\frac{1}{3}\times 1-\frac{1^{4}}{12}-\left(\frac{1}{3}\times 0-\frac{0^{4}}{12}\right)$$

Forenkle.

$$\frac{1}{4}$$