Løs ∫ (from 0 to pi / 3) of (1-cosθ)^2

$$\int _ { 0 } ^ { \pi / 3 } ( 1 - \cos \theta ) ^ { 2 }$$

Evaluer

$$\frac{\pi \left(\cos(\theta )-1\right)^{2}}{3}$$

Løsningstrinn

Evaluer det ubestemte integralet først.

$$\int \left(1-\cos(\theta )\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Finn integralet for \left(1-\cos(\theta )\right)^{2} ved hjelp av tabellen med felles integrals regel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}x$$

Det uthevede integralet er den antideriverte i uttrykket som evalueres ved øvre grense for integrasjon minus den antideriverte som evalueres ved nedre grense for integrasjon.

$$\frac{1}{3}\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}\pi +0\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}$$

Forenkle.

$$\frac{\left(\cos(\theta )-1\right)^{2}\pi }{3}$$

Differensier med hensyn til θ

$$-\frac{2\pi \sin(\theta )\left(\cos(\theta )-1\right)}{3}$$