Løs ∫ (from - 2 to 2) of (4x-x^3)^2 wrt x

$$\int _ { - 2 } ^ { 2 } ( 4 x - x ^ { 3 } ) ^ { 2 } d x$$

Evaluer

$$\frac{2048}{105}\approx 19,504761905$$

Løsningstrinn

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(4x-x^{3}\right)^{2}.

$$\int _{-2}^{2}16x^{2}-8xx^{3}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

For å multiplisere potensene av det samme grunntallet, må du legge til eksponentene deres. Legg til 1 og 3 for å få 4.

$$\int _{-2}^{2}16x^{2}-8x^{4}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Hvis du vil opphøye potensen til et tall til en annen potens, multipliserer du eksponentene. Multipliser 3 og 2 for å få 6.

$$\int _{-2}^{2}16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

Evaluer det ubestemte integralet først.

$$\int 16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -8x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multipliser 16 ganger \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{4}\mathrm{d}x med \frac{x^{5}}{5}. Multipliser -8 ganger \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{6}\mathrm{d}x med \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}$$

Forenkle.

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{16x^{3}}{3}$$

Det uthevede integralet er den antideriverte i uttrykket som evalueres ved øvre grense for integrasjon minus den antideriverte som evalueres ved nedre grense for integrasjon.

$$\frac{2^{7}}{7}-\frac{8}{5}\times 2^{5}+\frac{16}{3}\times 2^{3}-\left(\frac{\left(-2\right)^{7}}{7}-\frac{8}{5}\left(-2\right)^{5}+\frac{16}{3}\left(-2\right)^{3}\right)$$

Forenkle.

$$\frac{2048}{105}$$