Løs ∫ (from - 1 to 1) of (1-y)y wrt y

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - y ) y d y$$

Evaluer

$$-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Løsningstrinn

Bruk den distributive lov til å multiplisere 1-y med y.

$$\int _{-1}^{1}y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Evaluer det ubestemte integralet først.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Siden \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int y\mathrm{d}y med \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Siden \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int y^{2}\mathrm{d}y med \frac{y^{3}}{3}. Multipliser -1 ganger \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

Det uthevede integralet er den antideriverte i uttrykket som evalueres ved øvre grense for integrasjon minus den antideriverte som evalueres ved nedre grense for integrasjon.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

Forenkle.

$$-\frac{2}{3}$$