Løs ∫ (x-6)(x-5)(x-4)

$$\int ( x - 6 ) ( x - 5 ) ( x - 4 )$$

Evaluer

$$\frac{x^{4}}{4}-5x^{3}+37x^{2}-120x+С$$

Løsningstrinn

Bruk den distributive lov ved å multiplisere hvert ledd i x-6 med hvert ledd i x-5.

$$\int \left(x^{2}-5x-6x+30\right)\left(x-4\right)\mathrm{d}x$$

Kombiner -5x og -6x for å få -11x.

$$\int \left(x^{2}-11x+30\right)\left(x-4\right)\mathrm{d}x$$

Bruk den distributive lov ved å multiplisere hvert ledd i x^{2}-11x+30 med hvert ledd i x-4.

$$\int x^{3}-4x^{2}-11x^{2}+44x+30x-120\mathrm{d}x$$

Kombiner -4x^{2} og -11x^{2} for å få -15x^{2}.

$$\int x^{3}-15x^{2}+44x+30x-120\mathrm{d}x$$

Kombiner 44x og 30x for å få 74x.

$$\int x^{3}-15x^{2}+74x-120\mathrm{d}x$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int -15x^{2}\mathrm{d}x+\int 74x\mathrm{d}x+\int -120\mathrm{d}x$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x-15\int x^{2}\mathrm{d}x+74\int x\mathrm{d}x+\int -120\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{3}\mathrm{d}x med \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}-15\int x^{2}\mathrm{d}x+74\int x\mathrm{d}x+\int -120\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multipliser -15 ganger \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}-5x^{3}+74\int x\mathrm{d}x+\int -120\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multipliser 74 ganger \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}-5x^{3}+37x^{2}+\int -120\mathrm{d}x$$

Finn integralet for -120 ved hjelp av tabellen med felles integrals regel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{4}-5x^{3}+37x^{2}-120x$$

Hvis F\left(x\right) er en antiderivert av f\left(x\right), angis settet med alle antideriverte av f\left(x\right) av F\left(x\right)+C. Legg derfor til konstanten av integrering C\in \mathrm{R} i resultatet.

$$\frac{x^{4}}{4}-5x^{3}+37x^{2}-120x+С$$

Differensier med hensyn til x

$$\left(x-6\right)\left(x-5\right)\left(x-4\right)$$