Løs ∫ (2x^2+3)^3 wrt x

$$\int ( 2 x ^ { 2 } + 3 ) ^ { 3 } d x$$

Evaluer

$$\frac{8x^{7}}{7}+\frac{36x^{5}}{5}+18x^{3}+27x+С$$

Løsningstrinn

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} til å utvide \left(2x^{2}+3\right)^{3}.

$$\int 8\left(x^{2}\right)^{3}+36\left(x^{2}\right)^{2}+54x^{2}+27\mathrm{d}x$$

Hvis du vil opphøye potensen til et tall til en annen potens, multipliserer du eksponentene. Multipliser 2 og 3 for å få 6.

$$\int 8x^{6}+36\left(x^{2}\right)^{2}+54x^{2}+27\mathrm{d}x$$

Hvis du vil opphøye potensen til et tall til en annen potens, multipliserer du eksponentene. Multipliser 2 og 2 for å få 4.

$$\int 8x^{6}+36x^{4}+54x^{2}+27\mathrm{d}x$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int 8x^{6}\mathrm{d}x+\int 36x^{4}\mathrm{d}x+\int 54x^{2}\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$8\int x^{6}\mathrm{d}x+36\int x^{4}\mathrm{d}x+54\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{6}\mathrm{d}x med \frac{x^{7}}{7}. Multipliser 8 ganger \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{8x^{7}}{7}+36\int x^{4}\mathrm{d}x+54\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{4}\mathrm{d}x med \frac{x^{5}}{5}. Multipliser 36 ganger \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{8x^{7}}{7}+\frac{36x^{5}}{5}+54\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multipliser 54 ganger \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{8x^{7}}{7}+\frac{36x^{5}}{5}+18x^{3}+\int 27\mathrm{d}x$$

Finn integralet for 27 ved hjelp av tabellen med felles integrals regel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{8x^{7}}{7}+\frac{36x^{5}}{5}+18x^{3}+27x$$

Forenkle.

$$27x+18x^{3}+\frac{36x^{5}}{5}+\frac{8x^{7}}{7}$$

Hvis F\left(x\right) er en antiderivert av f\left(x\right), angis settet med alle antideriverte av f\left(x\right) av F\left(x\right)+C. Legg derfor til konstanten av integrering C\in \mathrm{R} i resultatet.

$$27x+18x^{3}+\frac{36x^{5}}{5}+\frac{8x^{7}}{7}+С$$

Differensier med hensyn til x

$$\left(2x^{2}+3\right)^{3}$$