Løs ∫ [2x^4+2x^3-8x^2-8x/x+1] wrt x

$$\int [ \frac { 2 x ^ { 4 } + 2 x ^ { 3 } - 8 x ^ { 2 } - 8 x } { x + 1 } ] d x$$

Evaluer

$$\frac{x^{4}}{2}-4x^{2}+С$$

Løsningstrinn

Faktoriser uttrykkene som ikke allerede er faktorisert i \frac{2x^{4}+2x^{3}-8x^{2}-8x}{x+1}.

$$\int \frac{2x\left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)}{x+1}\mathrm{d}x$$

Eliminer x+1 i både teller og nevner.

$$\int 2x\left(x-2\right)\left(x+2\right)\mathrm{d}x$$

Utvid uttrykket.

$$\int 2x^{3}-8x\mathrm{d}x$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int -8x\mathrm{d}x$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x-8\int x\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x^{3}\mathrm{d}x med \frac{x^{4}}{4}. Multipliser 2 ganger \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{2}-8\int x\mathrm{d}x$$

Siden \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multipliser -8 ganger \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{2}-4x^{2}$$

Hvis F\left(x\right) er en antiderivert av f\left(x\right), angis settet med alle antideriverte av f\left(x\right) av F\left(x\right)+C. Legg derfor til konstanten av integrering C\in \mathrm{R} i resultatet.

$$-4x^{2}+\frac{x^{4}}{2}+С$$

Differensier med hensyn til x

$$2x\left(x^{2}-4\right)$$