Løs d/dθleft(cos(θ)right)

$$\frac{d}{d \theta } \left( \cos ( \theta ) \right)$$

Evaluer

$$-\sin(\theta )$$

Fremgangsmåte ved hjelp av definisjon av den deriverte

For funksjonen f\left(x\right) er derivatet grensen på \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} når h går til 0, hvis denne grensen finnes.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }(\cos(\theta ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\theta +h)-\cos(\theta )}{h}\right)$$

Bruk sumformelen for cosinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h+\theta )-\cos(\theta )}{h}$$

Faktoriser ut \cos(\theta ).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\theta )\left(\cos(h)-1\right)-\sin(\theta )\sin(h)}{h}$$

Skriv om grensen.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Bruk faktumet at \theta er en konstant ved beregning av grenser når h går til 0.

$$\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Grensen \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } er 1.

$$\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta )$$

For å evaluere grensen \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, multipliserer du først telleren og nevneren med \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Multipliser \cos(h)+1 ganger \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Bruk enhetsformelen.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Skriv om grensen.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Grensen \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } er 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Bruk faktumet at \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} er kontinuerlig på 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Sett inn verdien 0 i uttrykket \cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta ).

$$-\sin(\theta )$$

Differensier med hensyn til θ

$$-\cos(\theta )$$