Løs x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -\frac{1}{2},1 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med \left(x-1\right)\left(2x+1\right), som er den minste fellesnevneren av 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multipliser x-1 med x-1 for å få \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multipliser 2x+1 med 2x+1 for å få \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-1 med 2x+1 og kombinere like ledd.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x^{2}-x-1 med 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Kombiner 4x^{2} og 6x^{2} for å få 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Kombiner 4x og -3x for å få x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Trekk fra 3 fra 1 for å få -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Trekk fra 10x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Kombiner x^{2} og -10x^{2} for å få -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Trekk fra x fra begge sider.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Kombiner -2x og -x for å få -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Legg til 2 på begge sider.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Legg sammen 1 og 2 for å få 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -9 for a, -3 for b og 3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Kvadrer -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Multipliser -4 ganger -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Multipliser 36 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Legg sammen 9 og 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Ta kvadratroten av 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Det motsatte av -3 er 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Multipliser 2 ganger -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} når ± er pluss. Legg sammen 3 og 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Del 3+3\sqrt{13} på -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} når ± er minus. Trekk fra 3\sqrt{13} fra 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Del 3-3\sqrt{13} på -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -\frac{1}{2},1 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med \left(x-1\right)\left(2x+1\right), som er den minste fellesnevneren av 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multipliser x-1 med x-1 for å få \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Multipliser 2x+1 med 2x+1 for å få \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-1 med 2x+1 og kombinere like ledd.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x^{2}-x-1 med 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Kombiner 4x^{2} og 6x^{2} for å få 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Kombiner 4x og -3x for å få x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Trekk fra 3 fra 1 for å få -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Trekk fra 10x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Kombiner x^{2} og -10x^{2} for å få -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Trekk fra x fra begge sider.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Kombiner -2x og -x for å få -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Trekk fra 1 fra begge sider.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Trekk fra 1 fra -2 for å få -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Del begge sidene på -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

Hvis du deler på -9, gjør du om gangingen med -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Forkort brøken \frac{-3}{-9} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Forkort brøken \frac{-3}{-9} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Divider \frac{1}{3}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{1}{6}. Legg deretter til kvadratet av \frac{1}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Legg sammen \frac{1}{3} og \frac{1}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Trekk fra \frac{1}{6} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$