Løs x+1/x^2+1-1/2=0

$$\frac{ x+1 }{ { x }^{ 2 } +1 } - \frac{ 1 }{ 2 } =0$$

Løs for x

$$x=\sqrt{2}+1\approx 2,414213562$$

$$x=1-\sqrt{2}\approx -0,414213562$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Multipliser begge sider av formelen med 2\left(x^{2}+1\right), som er den minste fellesnevneren av x^{2}+1,2.

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2 med x+1.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Multipliser 2 med -\frac{1}{2} for å få -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

Du finner den motsatte av x^{2}+1 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Trekk fra 1 fra 2 for å få 1.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+2x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 2 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 4 og 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -2 og 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{-2}$$

Del -2+2\sqrt{2} på -2.

$$x=1-\sqrt{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{2} fra -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{-2}$$

Del -2-2\sqrt{2} på -2.

$$x=\sqrt{2}+1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=1-\sqrt{2} x=\sqrt{2}+1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Multipliser begge sider av formelen med 2\left(x^{2}+1\right), som er den minste fellesnevneren av x^{2}+1,2.

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2 med x+1.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Multipliser 2 med -\frac{1}{2} for å få -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

Du finner den motsatte av x^{2}+1 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Trekk fra 1 fra 2 for å få 1.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$2x-x^{2}=-1$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x=-1$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Del 2 på -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{-1}$$

Del -1 på -1.

$$x^{2}-2x=1$$

Divider -2, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -1. Legg deretter til kvadratet av -1 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=1+1$$

Legg sammen 1 og 1.

$$x^{2}-2x+1=2$$

Faktoriser x^{2}-2x+1. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=2$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Forenkle.

$$x-1=\sqrt{2} x-1=-\sqrt{2}$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$