Løs 3/2-sqrt{3}+4/sqrt{3+1}

$$\frac{ 3 }{ 2- \sqrt{ 3 } } + \frac{ 4 }{ \sqrt{ 3 } +1 }$$

Evaluer

$$5\sqrt{3}+4\approx 12,660254038$$

Løsningstrinn

Gjør nevneren til \frac{3}{2-\sqrt{3}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med 2+\sqrt{3}.

$$\frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

Vurder \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

Kvadrer 2. Kvadrer \sqrt{3}.

$$\frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

Trekk fra 3 fra 4 for å få 1.

$$\frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

Alt delt på 1, er lik seg selv.

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

Gjør nevneren til \frac{4}{\sqrt{3}+1} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med \sqrt{3}-1.

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}$$

Vurder \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}$$

Kvadrer \sqrt{3}. Kvadrer 1.

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}$$

Trekk fra 1 fra 3 for å få 2.

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$$

Del 4\left(\sqrt{3}-1\right) på 2 for å få 2\left(\sqrt{3}-1\right).

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+2\left(\sqrt{3}-1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3 med 2+\sqrt{3}.

$$6+3\sqrt{3}+2\left(\sqrt{3}-1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2 med \sqrt{3}-1.

$$6+3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2$$

Kombiner 3\sqrt{3} og 2\sqrt{3} for å få 5\sqrt{3}.

$$6+5\sqrt{3}-2$$

Trekk fra 2 fra 6 for å få 4.

$$4+5\sqrt{3}$$