Løs 2x+1/x+4x/2x+1=5

$$\frac{ 2x+1 }{ x } + \frac{ 4x }{ 2x+1 } =5$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=-1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -\frac{1}{2},0 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med x\left(2x+1\right), som er den minste fellesnevneren av x,2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Multipliser 2x+1 med 2x+1 for å få \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Multipliser x med x for å få x^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

Kombiner 4x^{2} og x^{2}\times 4 for å få 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 5x med 2x+1.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Trekk fra 10x^{2} fra begge sider.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

Kombiner 8x^{2} og -10x^{2} for å få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Trekk fra 5x fra begge sider.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

Kombiner 4x og -5x for å få -x.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -2x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-1 ab=-2=-2$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=1 b=-2$$

Skriv om -2x^{2}-x+1 som \left(-2x^{2}+x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(-2x^{2}+x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Faktor ut -x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$-x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-1\right)\left(-x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-1=0 og -x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -\frac{1}{2},0 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med x\left(2x+1\right), som er den minste fellesnevneren av x,2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Multipliser 2x+1 med 2x+1 for å få \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Multipliser x med x for å få x^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

Kombiner 4x^{2} og x^{2}\times 4 for å få 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 5x med 2x+1.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Trekk fra 10x^{2} fra begge sider.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

Kombiner 8x^{2} og -10x^{2} for å få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Trekk fra 5x fra begge sider.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

Kombiner 4x og -5x for å få -x.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -2 for a, -1 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multipliser -4 ganger -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\left(-2\right)}$$

Legg sammen 1 og 8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\left(-2\right)}$$

Ta kvadratroten av 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\left(-2\right)}$$

Det motsatte av -1 er 1.

$$x=\frac{1±3}{2\left(-2\right)}$$

Multipliser 2 ganger -2.

$$x=\frac{1±3}{-4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±3}{-4} når ± er pluss. Legg sammen 1 og 3.

$$x=\frac{4}{-4}$$

Del 4 på -4.

$$x=-1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±3}{-4} når ± er minus. Trekk fra 3 fra 1.

$$x=-\frac{2}{-4}$$

Forkort brøken \frac{-2}{-4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-1 x=\frac{1}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -\frac{1}{2},0 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med x\left(2x+1\right), som er den minste fellesnevneren av x,2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Multipliser 2x+1 med 2x+1 for å få \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Multipliser x med x for å få x^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

Kombiner 4x^{2} og x^{2}\times 4 for å få 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 5x med 2x+1.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Trekk fra 10x^{2} fra begge sider.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

Kombiner 8x^{2} og -10x^{2} for å få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Trekk fra 5x fra begge sider.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

Kombiner 4x og -5x for å få -x.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$-2x^{2}-x=-1$$

Del begge sidene på -2.

$$\frac{-2x^{2}-x}{-2}=-\frac{1}{-2}$$

Hvis du deler på -2, gjør du om gangingen med -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-2}\right)x=-\frac{1}{-2}$$

Del -1 på -2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-2}$$

Del -1 på -2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Del \frac{1}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Legg sammen \frac{1}{2} og \frac{1}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Trekk fra \frac{1}{4} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$