Løs frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Løs for b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Trinn for å løse irrasjonale ligninger

Gjør nevneren til \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Vurder \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadrer 2. Kvadrer \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Trekk fra 5 fra 4 for å få -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Multipliser 2+\sqrt{5} med 2+\sqrt{5} for å få \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadratrota av \sqrt{5} er 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Legg sammen 4 og 5 for å få 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Alt delt på-1 gir det motsatte. Du finner den motsatte av 9+4\sqrt{5} ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Gjør nevneren til \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Vurder \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadrer 2. Kvadrer \sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Trekk fra 5 fra 4 for å få -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Multipliser 2-\sqrt{5} med 2-\sqrt{5} for å få \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadratrota av \sqrt{5} er 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Legg sammen 4 og 5 for å få 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Alt delt på-1 gir det motsatte. Du finner den motsatte av 9-4\sqrt{5} ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Trekk fra 9 fra -9 for å få -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Kombiner -4\sqrt{5} og 4\sqrt{5} for å få 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Bytt om sidene, slik at alle variabelledd er på venstre side.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Trekk fra a fra begge sider.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Del begge sidene på 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Hvis du deler på 5, gjør du om gangingen med 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Løs for a (complex solution)

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

Løs for b (complex solution)

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$arg(\frac{-a-18}{5})<\pi \text{ or }a=-18$$

Løs for a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$