Løs frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Evaluer

$$8\sqrt{3}\approx 13,856406461$$

Løsningstrinn

Gjør nevneren til \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Vurder \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Kvadrer 2. Kvadrer \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Trekk fra 3 fra 4 for å få 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Alt delt på 1, er lik seg selv.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Multipliser 2+\sqrt{3} med 2+\sqrt{3} for å få \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Gjør nevneren til \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Vurder \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kvadrer 2. Kvadrer \sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Trekk fra 3 fra 4 for å få 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Alt delt på 1, er lik seg selv.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Multipliser 2-\sqrt{3} med 2-\sqrt{3} for å få \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kvadratrota av \sqrt{3} er 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Legg sammen 4 og 3 for å få 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

Kvadratrota av \sqrt{3} er 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Legg sammen 4 og 3 for å få 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

Du finner den motsatte av 7-4\sqrt{3} ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

Det motsatte av -4\sqrt{3} er 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Trekk fra 7 fra 7 for å få 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Kombiner 4\sqrt{3} og 4\sqrt{3} for å få 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$