Løs 2/x-3+3/x-2=3

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4,215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2,45141623$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene 2,3 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med \left(x-3\right)\left(x-2\right), som er den minste fellesnevneren av x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-2 med 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-3 med 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Kombiner 2x og 3x for å få 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Trekk fra 9 fra -4 for å få -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3 med x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3x-9 med x-2 og kombinere like ledd.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Trekk fra 3x^{2} fra begge sider.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Legg til 15x på begge sider.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Kombiner 5x og 15x for å få 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Trekk fra 18 fra begge sider.

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

Trekk fra 18 fra -13 for å få -31.

$$20x-31-3x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -3 for a, 20 for b og -31 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrer 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser -4 ganger -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 12 ganger -31.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

Legg sammen 400 og -372.

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

Ta kvadratroten av 28.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 2 ganger -3.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} når ± er pluss. Legg sammen -20 og 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Del -20+2\sqrt{7} på -6.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{7} fra -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Del -20-2\sqrt{7} på -6.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene 2,3 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med \left(x-3\right)\left(x-2\right), som er den minste fellesnevneren av x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-2 med 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-3 med 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Kombiner 2x og 3x for å få 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Trekk fra 9 fra -4 for å få -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3 med x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3x-9 med x-2 og kombinere like ledd.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Trekk fra 3x^{2} fra begge sider.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Legg til 15x på begge sider.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Kombiner 5x og 15x for å få 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Legg til 13 på begge sider.

$$20x-3x^{2}=18+13$$

Legg sammen 18 og 13 for å få 31.

$$20x-3x^{2}=31$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+20x=31$$

Del begge sidene på -3.

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

Hvis du deler på -3, gjør du om gangingen med -3.

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

Del 20 på -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

Del 31 på -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

Del -\frac{20}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{10}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{10}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{10}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

Legg sammen -\frac{31}{3} og \frac{100}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Legg til \frac{10}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$