Løs 1/4x^2+3/5x-6=0

$$\frac{ 1 }{ 4 } { x }^{ 2 } + \frac{ 3 }{ 5 } x-6=0$$

Løs for x

$$x = \frac{2 \sqrt{159} - 6}{5} \approx 3,843808085$$

$$x=\frac{-2\sqrt{159}-6}{5}\approx -6,243808085$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{5}x-6=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn \frac{1}{4} for a, \frac{3}{5} for b og -6 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{3}{5}±\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^{2}-4\times \frac{1}{4}\left(-6\right)}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Kvadrer \frac{3}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x=\frac{-\frac{3}{5}±\sqrt{\frac{9}{25}-4\times \frac{1}{4}\left(-6\right)}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Multipliser -4 ganger \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\frac{3}{5}±\sqrt{\frac{9}{25}-\left(-6\right)}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Multipliser -1 ganger -6.

$$x=\frac{-\frac{3}{5}±\sqrt{\frac{9}{25}+6}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Legg sammen \frac{9}{25} og 6.

$$x=\frac{-\frac{3}{5}±\sqrt{\frac{159}{25}}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Ta kvadratroten av \frac{159}{25}.

$$x=\frac{-\frac{3}{5}±\frac{\sqrt{159}}{5}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Multipliser 2 ganger \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\frac{3}{5}±\frac{\sqrt{159}}{5}}{\frac{1}{2}}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-\frac{3}{5}±\frac{\sqrt{159}}{5}}{\frac{1}{2}} når ± er pluss. Legg sammen -\frac{3}{5} og \frac{\sqrt{159}}{5}.

$$x=\frac{\sqrt{159}-3}{\frac{1}{2}\times 5}$$

Del \frac{-3+\sqrt{159}}{5} på \frac{1}{2} ved å multiplisere \frac{-3+\sqrt{159}}{5} med den resiproke verdien av \frac{1}{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{159}-6}{5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-\frac{3}{5}±\frac{\sqrt{159}}{5}}{\frac{1}{2}} når ± er minus. Trekk fra \frac{\sqrt{159}}{5} fra -\frac{3}{5}.

$$x=\frac{-\sqrt{159}-3}{\frac{1}{2}\times 5}$$

Del \frac{-3-\sqrt{159}}{5} på \frac{1}{2} ved å multiplisere \frac{-3-\sqrt{159}}{5} med den resiproke verdien av \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-2\sqrt{159}-6}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{2\sqrt{159}-6}{5} x=\frac{-2\sqrt{159}-6}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{5}x-6=0$$

Legg til 6 på begge sider av ligningen.

$$\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{5}x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Når du trekker fra -6 fra seg selv har du 0 igjen.

$$\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{5}x=-\left(-6\right)$$

Trekk fra -6 fra 0.

$$\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{5}x=6$$

Multipliser begge sider med 4.

$$\frac{\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{5}x}{\frac{1}{4}}=\frac{6}{\frac{1}{4}}$$

Hvis du deler på \frac{1}{4}, gjør du om gangingen med \frac{1}{4}.

$$x^{2}+\frac{\frac{3}{5}}{\frac{1}{4}}x=\frac{6}{\frac{1}{4}}$$

Del \frac{3}{5} på \frac{1}{4} ved å multiplisere \frac{3}{5} med den resiproke verdien av \frac{1}{4}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{6}{\frac{1}{4}}$$

Del 6 på \frac{1}{4} ved å multiplisere 6 med den resiproke verdien av \frac{1}{4}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=24$$

Del \frac{12}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{6}{5}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{6}{5} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=24+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{6}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=24+\frac{36}{25}$$

Legg sammen 24 og \frac{36}{25}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{636}{25}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{636}{25}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{636}{25}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{2\sqrt{159}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{2\sqrt{159}}{5}$$

Trekk fra \frac{6}{5} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{2\sqrt{159}-6}{5} x=\frac{-2\sqrt{159}-6}{5}$$