Løs 1/x^3+2x^2-x-2-2/1-x=3/x+1

$$\frac{ 1 }{ { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } -x-2 } - \frac{ 2 }{ 1-x } = \frac{ 3 }{ x+1 }$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{53} + 3}{2} \approx 5,140054945$$

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}\approx -2,140054945$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -2,-1,1 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), som er den minste fellesnevneren av x^{3}+2x^{2}-x-2,1-x,x+1.

$$1-\left(-\left(1+x\right)\left(2+x\right)\times 2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Multipliser -1 med 2 for å få -2.

$$1-\left(-2\left(1+x\right)\left(2+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -2 med 1+x.

$$1-\left(-2-2x\right)\left(2+x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -2-2x med 2+x og kombinere like ledd.

$$1-\left(-4-6x-2x^{2}\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Du finner den motsatte av -4-6x-2x^{2} ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$1+4+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Legg sammen 1 og 4 for å få 5.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-1 med x+2 og kombinere like ledd.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x^{2}+x-2\right)\times 3$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x^{2}+x-2 med 3.

$$5+6x+2x^{2}=3x^{2}+3x-6$$

Trekk fra 3x^{2} fra begge sider.

$$5+6x+2x^{2}-3x^{2}=3x-6$$

Kombiner 2x^{2} og -3x^{2} for å få -x^{2}.

$$5+6x-x^{2}=3x-6$$

Trekk fra 3x fra begge sider.

$$5+6x-x^{2}-3x=-6$$

Kombiner 6x og -3x for å få 3x.

$$5+3x-x^{2}=-6$$

Legg til 6 på begge sider.

$$5+3x-x^{2}+6=0$$

Legg sammen 5 og 6 for å få 11.

$$11+3x-x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+3x+11=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 3 for b og 11 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger 11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+44}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 9 og 44.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -3 og \sqrt{53}.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{-2}$$

Del -3+\sqrt{53} på -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{53} fra -3.

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{-2}$$

Del -3-\sqrt{53} på -2.

$$x=\frac{\sqrt{53}+3}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2} x=\frac{\sqrt{53}+3}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -2,-1,1 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), som er den minste fellesnevneren av x^{3}+2x^{2}-x-2,1-x,x+1.

$$1-\left(-\left(1+x\right)\left(2+x\right)\times 2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Multipliser -1 med 2 for å få -2.

$$1-\left(-2\left(1+x\right)\left(2+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -2 med 1+x.

$$1-\left(-2-2x\right)\left(2+x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -2-2x med 2+x og kombinere like ledd.

$$1-\left(-4-6x-2x^{2}\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Du finner den motsatte av -4-6x-2x^{2} ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$1+4+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Legg sammen 1 og 4 for å få 5.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-1 med x+2 og kombinere like ledd.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x^{2}+x-2\right)\times 3$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x^{2}+x-2 med 3.

$$5+6x+2x^{2}=3x^{2}+3x-6$$

Trekk fra 3x^{2} fra begge sider.

$$5+6x+2x^{2}-3x^{2}=3x-6$$

Kombiner 2x^{2} og -3x^{2} for å få -x^{2}.

$$5+6x-x^{2}=3x-6$$

Trekk fra 3x fra begge sider.

$$5+6x-x^{2}-3x=-6$$

Kombiner 6x og -3x for å få 3x.

$$5+3x-x^{2}=-6$$

Trekk fra 5 fra begge sider.

$$3x-x^{2}=-6-5$$

Trekk fra 5 fra -6 for å få -11.

$$3x-x^{2}=-11$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-11$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{11}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{11}{-1}$$

Del 3 på -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{11}{-1}$$

Del -11 på -1.

$$x^{2}-3x=11$$

Del -3, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{3}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=11+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=11+\frac{9}{4}$$

Legg sammen 11 og \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{53}{4}$$

Faktoriser x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

Legg til \frac{3}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{53}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$