Løs frac{sqrt{5}+sqrt{3}}{sqrt{5}-sqrt{3}}-frac{sqrt{5}-sqrt{3}}{sqrt{5}+sqrt{3}}=2sqrt{15}

$$\frac{ \sqrt{ 5 } + \sqrt{ 3 } }{ \sqrt{ 5 } - \sqrt{ 3 } } - \frac{ \sqrt{ 5 } - \sqrt{ 3 } }{ \sqrt{ 5 } + \sqrt{ 3 } } = 2 \sqrt{ 15 }$$

Bekreft

Løsningstrinn

Gjør nevneren til \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med \sqrt{5}+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Vurder \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Kvadrer \sqrt{5}. Kvadrer \sqrt{3}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{5-3}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Trekk fra 3 fra 5 for å få 2.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Multipliser \sqrt{5}+\sqrt{3} med \sqrt{5}+\sqrt{3} for å få \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Kvadratrota av \sqrt{5} er 5.

$$\frac{5+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Hvis du vil multiplisere \sqrt{5} og \sqrt{3}, multipliserer du tallene under kvadrat roten.

$$\frac{5+2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Kvadratrota av \sqrt{3} er 3.

$$\frac{5+2\sqrt{15}+3}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Legg sammen 5 og 3 for å få 8.

$$\frac{8+2\sqrt{15}}{2}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Del hvert ledd av 8+2\sqrt{15} på 2 for å få 4+\sqrt{15}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}$$

Gjør nevneren til \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med \sqrt{5}-\sqrt{3}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}=2\sqrt{15}$$

Vurder \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=2\sqrt{15}$$

Kvadrer \sqrt{5}. Kvadrer \sqrt{3}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{5-3}=2\sqrt{15}$$

Trekk fra 3 fra 5 for å få 2.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{2}=2\sqrt{15}$$

Multipliser \sqrt{5}-\sqrt{3} med \sqrt{5}-\sqrt{3} for å få \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+\sqrt{15}-\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

Kvadratrota av \sqrt{5} er 5.

$$4+\sqrt{15}-\frac{5-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

Hvis du vil multiplisere \sqrt{5} og \sqrt{3}, multipliserer du tallene under kvadrat roten.

$$4+\sqrt{15}-\frac{5-2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}=2\sqrt{15}$$

Kvadratrota av \sqrt{3} er 3.

$$4+\sqrt{15}-\frac{5-2\sqrt{15}+3}{2}=2\sqrt{15}$$

Legg sammen 5 og 3 for å få 8.

$$4+\sqrt{15}-\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=2\sqrt{15}$$

Del hvert ledd av 8-2\sqrt{15} på 2 for å få 4-\sqrt{15}.

$$4+\sqrt{15}-\left(4-\sqrt{15}\right)=2\sqrt{15}$$

Du finner den motsatte av 4-\sqrt{15} ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$4+\sqrt{15}-4-\left(-\sqrt{15}\right)=2\sqrt{15}$$

Det motsatte av -\sqrt{15} er \sqrt{15}.

$$4+\sqrt{15}-4+\sqrt{15}=2\sqrt{15}$$

Trekk fra 4 fra 4 for å få 0.

$$\sqrt{15}+\sqrt{15}=2\sqrt{15}$$

Kombiner \sqrt{15} og \sqrt{15} for å få 2\sqrt{15}.

$$2\sqrt{15}=2\sqrt{15}$$

Trekk fra 2\sqrt{15} fra begge sider.

$$2\sqrt{15}-2\sqrt{15}=0$$

Kombiner 2\sqrt{15} og -2\sqrt{15} for å få 0.

$$0=0$$

Sammenlign 0 og 0.

$$\text{true}$$