Løs x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Løs for x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Vurder den første formelen. Multipliser begge sider av formelen med 21, som er den minste fellesnevneren av 7,3.

$$3x+7y=105$$

Vurder den andre formelen. Multipliser begge sider av ligningen med 14.

$$-x+42y=364$$

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$3x+7y=105$$

Trekk fra 7y fra begge sider av ligningen.

$$3x=-7y+105$$

Del begge sidene på 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Multipliser \frac{1}{3} ganger -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Sett inn -\frac{7y}{3}+35 for x i den andre formelen, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Multipliser -1 ganger -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Legg sammen \frac{7y}{3} og 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Legg til 35 på begge sider av ligningen.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Del begge sidene av ligningen på \frac{133}{3}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$y=9$$

Sett inn 9 for y i x=-\frac{7}{3}y+35. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Multipliser -\frac{7}{3} ganger 9.

$$x=-21+35$$

Legg sammen 35 og -21.

$$x=14$$

Systemet er nå løst.

$$x=14,y=9$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Vurder den første formelen. Multipliser begge sider av formelen med 21, som er den minste fellesnevneren av 7,3.

$$3x+7y=105$$

Vurder den andre formelen. Multipliser begge sider av ligningen med 14.

$$-x+42y=364$$

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseligningen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=14,y=9$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Vurder den første formelen. Multipliser begge sider av formelen med 21, som er den minste fellesnevneren av 7,3.

$$3x+7y=105$$

Vurder den andre formelen. Multipliser begge sider av ligningen med 14.

$$-x+42y=364$$

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

For å gjøre 3x og -x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med -1 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Forenkle.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Trekk fra -3x+126y=1092 fra -3x-7y=-105 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Legg sammen -3x og 3x. Leddene -3x og 3x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Legg sammen -7y og -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Legg sammen -105 og -1092.

$$-133y=-1197$$

Del begge sidene på -133.

$$y=9$$

Sett inn 9 for y i -x+42y=364. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$-x+42\times 9=364$$

Multipliser 42 ganger 9.

$$-x+378=364$$

Trekk fra 378 fra begge sider av ligningen.

$$-x=-14$$

Del begge sidene på -1.

$$x=14$$

Systemet er nå løst.

$$x=14,y=9$$