Løs x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Løs for x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Vurder den første formelen. Multipliser begge sider av formelen med 20, som er den minste fellesnevneren av 5,4.

$$4x=5y$$

Del begge sidene på 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Multipliser \frac{1}{4} ganger 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Sett inn \frac{5y}{4} for x i den andre formelen, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Legg sammen -\frac{5y}{4} og y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Multipliser begge sider med -4.

$$y=12$$

Sett inn 12 for y i x=\frac{5}{4}y. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Multipliser \frac{5}{4} ganger 12.

$$x=15$$

Systemet er nå løst.

$$x=15,y=12$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Vurder den første formelen. Multipliser begge sider av formelen med 20, som er den minste fellesnevneren av 5,4.

$$4x=5y$$

Trekk fra 5y fra begge sider.

$$4x-5y=0$$

Vurder den andre formelen. Multipliser begge sider av ligningen med 3.

$$y=x-3$$

Trekk fra x fra begge sider.

$$y-x=-3$$

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=15,y=12$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Vurder den første formelen. Multipliser begge sider av formelen med 20, som er den minste fellesnevneren av 5,4.

$$4x=5y$$

Trekk fra 5y fra begge sider.

$$4x-5y=0$$

Vurder den andre formelen. Multipliser begge sider av ligningen med 3.

$$y=x-3$$

Trekk fra x fra begge sider.

$$y-x=-3$$

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

For å gjøre 4x og -x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med -1 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Forenkle.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Trekk fra -4x+4y=-12 fra -4x+5y=0 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Legg sammen -4x og 4x. Vilkårene -4x og 4x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$5y-4y=12$$

Legg sammen 5y og -4y.

$$y=12$$

Sett inn 12 for y i -x+y=-3. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$-x+12=-3$$

Trekk fra 12 fra begge sider av ligningen.

$$-x=-15$$

Del begge sidene på -1.

$$x=15$$

Systemet er nå løst.

$$x=15,y=12$$