Løs x^2/9-4/3x=-2

$$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { 4 } { 3 } x = - 2$$

Løs for x

$$x=3\sqrt{2}+6\approx 10,242640687$$

$$x=6-3\sqrt{2}\approx 1,757359313$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=-2-\left(-2\right)$$

Når du trekker fra -2 fra seg selv har du 0 igjen.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=0$$

Trekk fra -2 fra 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x+2=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn \frac{1}{9} for a, -\frac{4}{3} for b og 2 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Kvadrer -\frac{4}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multipliser -4 ganger \frac{1}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multipliser -\frac{4}{9} ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16-8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Legg sammen \frac{16}{9} og -\frac{8}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Ta kvadratroten av \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Det motsatte av -\frac{4}{3} er \frac{4}{3}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multipliser 2 ganger \frac{1}{9}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} når ± er pluss. Legg sammen \frac{4}{3} og \frac{2\sqrt{2}}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+4}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Del \frac{4+2\sqrt{2}}{3} på \frac{2}{9} ved å multiplisere \frac{4+2\sqrt{2}}{3} med den resiproke verdien av \frac{2}{9}.

$$x=3\sqrt{2}+6$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} når ± er minus. Trekk fra \frac{2\sqrt{2}}{3} fra \frac{4}{3}.

$$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Del \frac{4-2\sqrt{2}}{3} på \frac{2}{9} ved å multiplisere \frac{4-2\sqrt{2}}{3} med den resiproke verdien av \frac{2}{9}.

$$x=6-3\sqrt{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Multipliser begge sider med 9.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x}{\frac{1}{9}}=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Hvis du deler på \frac{1}{9}, gjør du om gangingen med \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{9}}\right)x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Del -\frac{4}{3} på \frac{1}{9} ved å multiplisere -\frac{4}{3} med den resiproke verdien av \frac{1}{9}.

$$x^{2}-12x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Del -2 på \frac{1}{9} ved å multiplisere -2 med den resiproke verdien av \frac{1}{9}.

$$x^{2}-12x=-18$$

Del -12, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -6. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -6 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-18+\left(-6\right)^{2}$$

Kvadrer -6.

$$x^{2}-12x+36=-18+36$$

Legg sammen -18 og 36.

$$x^{2}-12x+36=18$$

Faktoriser x^{2}-12x+36. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=18$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{18}$$

Forenkle.

$$x-6=3\sqrt{2} x-6=-3\sqrt{2}$$

Legg til 6 på begge sider av ligningen.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$