Løs frac{isqrt{2}-5}{i+sqrt{2}}

$$\frac { i \sqrt { 2 } - 5 } { i + \sqrt { 2 } }$$

Evaluer

$$-\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{7}{3}i\approx -1,885618083+2,333333333i$$

Løsningstrinn

Gjør nevneren til \frac{i\sqrt{2}-5}{i+\sqrt{2}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med i-\sqrt{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{\left(i+\sqrt{2}\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}$$

Vurder \left(i+\sqrt{2}\right)\left(i-\sqrt{2}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{i^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Kvadrer i. Kvadrer \sqrt{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{-1-2}$$

Trekk fra 2 fra -1 for å få -3.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{-3}$$

Bruk den distributive lov ved å multiplisere hvert ledd i i\sqrt{2}-5 med hvert ledd i i-\sqrt{2}.

$$\frac{-\sqrt{2}-i\left(\sqrt{2}\right)^{2}-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Kvadratrota av \sqrt{2} er 2.

$$\frac{-\sqrt{2}-i\times 2-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Multipliser -i med 2 for å få -2i.

$$\frac{-\sqrt{2}-2i-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Trekk fra 5i fra -2i for å få -7i.

$$\frac{-\sqrt{2}-7i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Kombiner -\sqrt{2} og 5\sqrt{2} for å få 4\sqrt{2}.

$$\frac{4\sqrt{2}-7i}{-3}$$

Multipliser både teller og nevner med -1.

$$\frac{-4\sqrt{2}+7i}{3}$$

Reell del

$$-\frac{4 \sqrt{2}}{3} = -1,885618083164127$$