Løs f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Løs for f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Vurder den første formelen. Multipliser begge sider av formelen med 33, som er den minste fellesnevneren av 11,33.

$$3f=g$$

Del begge sidene på 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Sett inn \frac{g}{3} for f i den andre formelen, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Legg sammen \frac{g}{3} og g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Del begge sidene av ligningen på \frac{4}{3}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$g=30$$

Sett inn 30 for g i f=\frac{1}{3}g. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse f direkte.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Multipliser \frac{1}{3} ganger 30.

$$f=10$$

Systemet er nå løst.

$$f=10,g=30$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Vurder den første formelen. Multipliser begge sider av formelen med 33, som er den minste fellesnevneren av 11,33.

$$3f=g$$

Trekk fra g fra begge sider.

$$3f-g=0$$

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene f og g.

$$f=10,g=30$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Vurder den første formelen. Multipliser begge sider av formelen med 33, som er den minste fellesnevneren av 11,33.

$$3f=g$$

Trekk fra g fra begge sider.

$$3f-g=0$$

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$3f-g=0,f+g=40$$

For å gjøre 3f og f lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 1 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Forenkle.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Trekk fra 3f+3g=120 fra 3f-g=0 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Legg sammen 3f og -3f. Vilkårene 3f og -3f eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-g-3g=-120$$

Legg sammen -g og -3g.

$$-4g=-120$$

Del begge sidene på -4.

$$g=30$$

Sett inn 30 for g i f+g=40. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse f direkte.

$$f+30=40$$

Trekk fra 30 fra begge sider av ligningen.

$$f=10$$

Systemet er nå løst.

$$f=10,g=30$$