Løs frac{8+4-2sqrt{5}-4sqrt{5}+2sqrt{10}}{1-sqrt{5}}

$$\frac { 8 + 4 - 2 \sqrt { 5 } - 4 \sqrt { 5 } + 2 \sqrt { 10 } } { 1 - \sqrt { 5 } }$$

Evaluer

$$\frac{9-\sqrt{10}-3\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{2}\approx -3,970774702$$

Løsningstrinn

Legg sammen 8 og 4 for å få 12.

$$\frac{12-2\sqrt{5}-4\sqrt{5}+2\sqrt{10}}{1-\sqrt{5}}$$

Kombiner -2\sqrt{5} og -4\sqrt{5} for å få -6\sqrt{5}.

$$\frac{12-6\sqrt{5}+2\sqrt{10}}{1-\sqrt{5}}$$

Gjør nevneren til \frac{12-6\sqrt{5}+2\sqrt{10}}{1-\sqrt{5}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med 1+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(12-6\sqrt{5}+2\sqrt{10}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}{\left(1-\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}$$

Vurder \left(1-\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{5}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(12-6\sqrt{5}+2\sqrt{10}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}{1^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Kvadrer 1. Kvadrer \sqrt{5}.

$$\frac{\left(12-6\sqrt{5}+2\sqrt{10}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}{1-5}$$

Trekk fra 5 fra 1 for å få -4.

$$\frac{\left(12-6\sqrt{5}+2\sqrt{10}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}{-4}$$

Bruk den distributive lov ved å multiplisere hvert ledd i 12-6\sqrt{5}+2\sqrt{10} med hvert ledd i 1+\sqrt{5}.

$$\frac{12+12\sqrt{5}-6\sqrt{5}-6\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{10}+2\sqrt{10}\sqrt{5}}{-4}$$

Kombiner 12\sqrt{5} og -6\sqrt{5} for å få 6\sqrt{5}.

$$\frac{12+6\sqrt{5}-6\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{10}+2\sqrt{10}\sqrt{5}}{-4}$$

Kvadratrota av \sqrt{5} er 5.

$$\frac{12+6\sqrt{5}-6\times 5+2\sqrt{10}+2\sqrt{10}\sqrt{5}}{-4}$$

Multipliser -6 med 5 for å få -30.

$$\frac{12+6\sqrt{5}-30+2\sqrt{10}+2\sqrt{10}\sqrt{5}}{-4}$$

Trekk fra 30 fra 12 for å få -18.

$$\frac{-18+6\sqrt{5}+2\sqrt{10}+2\sqrt{10}\sqrt{5}}{-4}$$

Faktoriser 10=5\times 2. Skriv kvadratroten av produktet \sqrt{5\times 2} på nytt som produktet av kvadratrot \sqrt{5}\sqrt{2}.

$$\frac{-18+6\sqrt{5}+2\sqrt{10}+2\sqrt{5}\sqrt{2}\sqrt{5}}{-4}$$

Multipliser \sqrt{5} med \sqrt{5} for å få 5.

$$\frac{-18+6\sqrt{5}+2\sqrt{10}+2\times 5\sqrt{2}}{-4}$$

Multipliser 2 med 5 for å få 10.

$$\frac{-18+6\sqrt{5}+2\sqrt{10}+10\sqrt{2}}{-4}$$

Faktoriser

$$\frac{9 - \sqrt{10} - 3 \sqrt{5} - 5 \sqrt{2}}{2} = -3,9707747022666124$$