Løs 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Løs for x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -15,0 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med 4x\left(x+15\right), som er den minste fellesnevneren av x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4x+60 med 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multipliser 4 med 75 for å få 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multipliser 4 med \frac{1}{4} for å få 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x med x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Kombiner 300x og 15x for å få 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Trekk fra 315x fra begge sider.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Kombiner 300x og -315x for å få -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som -x^{2}+ax+bx+4500. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Løsningen er paret som gir Summer -15.

$$a=60 b=-75$$

Skriv om -x^{2}-15x+4500 som \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Faktor ut x i den første og 75 i den andre gruppen.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Faktorer ut det felles leddet -x+60 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse -x+60=0 og x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -15,0 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med 4x\left(x+15\right), som er den minste fellesnevneren av x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4x+60 med 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multipliser 4 med 75 for å få 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multipliser 4 med \frac{1}{4} for å få 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x med x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Kombiner 300x og 15x for å få 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Trekk fra 315x fra begge sider.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Kombiner 300x og -315x for å få -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, -15 for b og 4500 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 225 og 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

Det motsatte av -15 er 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{15±135}{-2} når ± er pluss. Legg sammen 15 og 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Del 150 på -2.

$$x=-75$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{15±135}{-2} når ± er minus. Trekk fra 135 fra 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Del -120 på -2.

$$x=60$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-75 x=60$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -15,0 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med 4x\left(x+15\right), som er den minste fellesnevneren av x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4x+60 med 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multipliser 4 med 75 for å få 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multipliser 4 med \frac{1}{4} for å få 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x med x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Kombiner 300x og 15x for å få 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Trekk fra 315x fra begge sider.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Kombiner 300x og -315x for å få -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Trekk fra 4500 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Del -15 på -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Del -4500 på -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Divider 15, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{15}{2}. Legg deretter til kvadratet av \frac{15}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{15}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Legg sammen 4500 og \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Faktoriser x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Trekk fra \frac{15}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=60 x=-75$$