Løs frac{6+sqrt{27}}{4-sqrt{3}}

$$\frac { 6 + \sqrt { 27 } } { 4 - \sqrt { 3 } }$$

Evaluer

$$\frac{18\sqrt{3}+33}{13}\approx 4,936685734$$

Løsningstrinn

Faktoriser 27=3^{2}\times 3. Skriv kvadrat roten av produktet på nytt \sqrt{3^{2}\times 3} som produktet av kvadrat rot \sqrt{3^{2}}\sqrt{3}. Ta kvadratroten av 3^{2}.

$$\frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$$

Gjør nevneren til \frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med 4+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}$$

Vurder \left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kvadrer 4. Kvadrer \sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{16-3}$$

Trekk fra 3 fra 16 for å få 13.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{13}$$

Bruk den distributive lov ved å multiplisere hvert ledd i 6+3\sqrt{3} med hvert ledd i 4+\sqrt{3}.

$$\frac{24+6\sqrt{3}+12\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Kombiner 6\sqrt{3} og 12\sqrt{3} for å få 18\sqrt{3}.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Kvadratrota av \sqrt{3} er 3.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\times 3}{13}$$

Multipliser 3 med 3 for å få 9.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+9}{13}$$

Legg sammen 24 og 9 for å få 33.

$$\frac{33+18\sqrt{3}}{13}$$