Løs frac{5-sqrt{7}}{5+sqrt{7}}+frac{5+sqrt{7}}{5-sqrt{7}}

$$\frac { 5 - \sqrt { 7 } } { 5 + \sqrt { 7 } } + \frac { 5 + \sqrt { 7 } } { 5 - \sqrt { 7 } }$$

Evaluer

$$\frac{32}{9}\approx 3,555555556$$

Korte løsningstrinn

Gjør nevneren til \frac{5-\sqrt{7}}{5+\sqrt{7}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med 5-\sqrt{7}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Vurder \left(5+\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Kvadrer 5. Kvadrer \sqrt{7}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{25-7}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Trekk fra 7 fra 25 for å få 18.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Multipliser 5-\sqrt{7} med 5-\sqrt{7} for å få \left(5-\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)^{2}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(5-\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{25-10\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Kvadratrota av \sqrt{7} er 7.

$$\frac{25-10\sqrt{7}+7}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Legg sammen 25 og 7 for å få 32.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Gjør nevneren til \frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med 5+\sqrt{7}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}$$

Vurder \left(5-\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}$$

Kvadrer 5. Kvadrer \sqrt{7}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{25-7}$$

Trekk fra 7 fra 25 for å få 18.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{18}$$

Multipliser 5+\sqrt{7} med 5+\sqrt{7} for å få \left(5+\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)^{2}}{18}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(5+\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{25+10\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{18}$$

Kvadratrota av \sqrt{7} er 7.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{25+10\sqrt{7}+7}{18}$$

Legg sammen 25 og 7 for å få 32.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{32+10\sqrt{7}}{18}$$

Siden \frac{32-10\sqrt{7}}{18} og \frac{32+10\sqrt{7}}{18} har samme nevner, kan du legge dem sammen ved å legge sammen tellerne.

$$\frac{32-10\sqrt{7}+32+10\sqrt{7}}{18}$$

Utfør beregningene i 32-10\sqrt{7}+32+10\sqrt{7}.

$$\frac{64}{18}$$

Forkort brøken \frac{64}{18} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$\frac{32}{9}$$

Faktoriser

$$\frac{2 ^ {5}}{3 ^ {2}} = 3\frac{5}{9} = 3,5555555555555554$$