Løs 5/x-3-x-1/x-2=7

$$\frac { 5 } { x - 3 } - \frac { x - 1 } { x - 2 } = 7$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{11} + 11}{4} \approx 3,579156198$$

$$x = \frac{11 - \sqrt{11}}{4} \approx 1,920843802$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene 2,3 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med \left(x-3\right)\left(x-2\right), som er den minste fellesnevneren av x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-2 med 5.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-3 med x-1 og kombinere like ledd.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Du finner den motsatte av x^{2}-4x+3 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Kombiner 5x og 4x for å få 9x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Trekk fra 3 fra -10 for å få -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 7 med x-3.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 7x-21 med x-2 og kombinere like ledd.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Trekk fra 7x^{2} fra begge sider.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Kombiner -x^{2} og -7x^{2} for å få -8x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Legg til 35x på begge sider.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Kombiner 9x og 35x for å få 44x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Trekk fra 42 fra begge sider.

$$44x-13-8x^{2}-42=0$$

Trekk fra 42 fra -13 for å få -55.

$$44x-55-8x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-8x^{2}+44x-55=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -8 for a, 44 for b og -55 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Kvadrer 44.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multipliser -4 ganger -8.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936+32\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multipliser 32 ganger -55.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1760}}{2\left(-8\right)}$$

Legg sammen 1936 og -1760.

$$x=\frac{-44±\sqrt{176}}{2\left(-8\right)}$$

Ta kvadratroten av 176.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{2\left(-8\right)}$$

Multipliser 2 ganger -8.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} når ± er pluss. Legg sammen -44 og 4\sqrt{11}.

$$x=\frac{4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Del -44+4\sqrt{11} på -16.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} når ± er minus. Trekk fra 4\sqrt{11} fra -44.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Del -44-4\sqrt{11} på -16.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4} x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene 2,3 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med \left(x-3\right)\left(x-2\right), som er den minste fellesnevneren av x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-2 med 5.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-3 med x-1 og kombinere like ledd.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Du finner den motsatte av x^{2}-4x+3 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Kombiner 5x og 4x for å få 9x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Trekk fra 3 fra -10 for å få -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 7 med x-3.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 7x-21 med x-2 og kombinere like ledd.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Trekk fra 7x^{2} fra begge sider.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Kombiner -x^{2} og -7x^{2} for å få -8x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Legg til 35x på begge sider.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Kombiner 9x og 35x for å få 44x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Legg til 13 på begge sider.

$$44x-8x^{2}=42+13$$

Legg sammen 42 og 13 for å få 55.

$$44x-8x^{2}=55$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+44x=55$$

Del begge sidene på -8.

$$\frac{-8x^{2}+44x}{-8}=\frac{55}{-8}$$

Hvis du deler på -8, gjør du om gangingen med -8.

$$x^{2}+\frac{44}{-8}x=\frac{55}{-8}$$

Forkort brøken \frac{44}{-8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{55}{-8}$$

Del 55 på -8.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{55}{8}$$

Del -\frac{11}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{11}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{11}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{55}{8}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{11}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{55}{8}+\frac{121}{16}$$

Legg sammen -\frac{55}{8} og \frac{121}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{11}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{11}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{11}}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{11}}{4}$$

Legg til \frac{11}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$