Løs 5/x^2-4+x/x-2=4

$$\frac { 5 } { x ^ { 2 } - 4 } + \frac { x } { x - 2 } = 4$$

Løs for x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -2,2 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med \left(x-2\right)\left(x+2\right), som er den minste fellesnevneren av x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x+2 med x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4 med x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4x-8 med x+2 og kombinere like ledd.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Trekk fra 4x^{2} fra begge sider.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Kombiner x^{2} og -4x^{2} for å få -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Legg til 16 på begge sider.

$$5-3x^{2}+2x+16=0$$

Legg sammen 5 og 16 for å få 21.

$$21-3x^{2}+2x=0$$

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$-3x^{2}+2x+21=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -3x^{2}+ax+bx+21. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=2 ab=-3\times 21=-63$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Løsningen er paret som gir Summer 2.

$$a=9 b=-7$$

Skriv om -3x^{2}+2x+21 som \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-7x+21\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-7x+21\right)$$

Faktor ut 3x i den første og 7 i den andre gruppen.

$$3x\left(-x+3\right)+7\left(-x+3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet -x+3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+7\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse -x+3=0 og 3x+7=0.

$$x=3 x=-\frac{7}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -2,2 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med \left(x-2\right)\left(x+2\right), som er den minste fellesnevneren av x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x+2 med x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4 med x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4x-8 med x+2 og kombinere like ledd.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Trekk fra 4x^{2} fra begge sider.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Kombiner x^{2} og -4x^{2} for å få -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Legg til 16 på begge sider.

$$5-3x^{2}+2x+16=0$$

Legg sammen 5 og 16 for å få 21.

$$21-3x^{2}+2x=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-3x^{2}+2x+21=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -3 for a, 2 for b og 21 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrer 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser -4 ganger -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 12 ganger 21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\left(-3\right)}$$

Legg sammen 4 og 252.

$$x=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\left(-3\right)}$$

Ta kvadratroten av 256.

$$x=\frac{-2±16}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 2 ganger -3.

$$x=\frac{-2±16}{-6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±16}{-6} når ± er pluss. Legg sammen -2 og 16.

$$x=\frac{14}{-6}$$

Forkort brøken \frac{14}{-6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±16}{-6} når ± er minus. Trekk fra 16 fra -2.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Del -18 på -6.

$$x=3$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{7}{3} x=3$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -2,2 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med \left(x-2\right)\left(x+2\right), som er den minste fellesnevneren av x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x+2 med x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4 med x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4x-8 med x+2 og kombinere like ledd.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Trekk fra 4x^{2} fra begge sider.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Kombiner x^{2} og -4x^{2} for å få -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Trekk fra 5 fra begge sider.

$$-3x^{2}+2x=-16-5$$

Trekk fra 5 fra -16 for å få -21.

$$-3x^{2}+2x=-21$$

Del begge sidene på -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{21}{-3}$$

Hvis du deler på -3, gjør du om gangingen med -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{21}{-3}$$

Del 2 på -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{21}{-3}$$

Del -21 på -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=7$$

Del -\frac{2}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=7+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=7+\frac{1}{9}$$

Legg sammen 7 og \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{64}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{8}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}$$

Legg til \frac{1}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=3 x=-\frac{7}{3}$$