Løs 4/x-4/x+2=1

$$\frac { 4 } { x } - \frac { 4 } { x + 2 } = 1$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x=2$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -2,0 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med x\left(x+2\right), som er den minste fellesnevneren av x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 4-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x+2 med 4.

$$4x+8-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x med x+2.

$$4x+8-x\times 4=x^{2}+2x$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}=2x$$

Trekk fra 2x fra begge sider.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}-2x=0$$

Kombiner 4x og -2x for å få 2x.

$$2x+8-x\times 4-x^{2}=0$$

Multipliser -1 med 4 for å få -4.

$$2x+8-4x-x^{2}=0$$

Kombiner 2x og -4x for å få -2x.

$$-2x+8-x^{2}=0$$

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$-x^{2}-2x+8=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -x^{2}+ax+bx+8. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-2 ab=-8=-8$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -8.

$$1,-8 2,-4$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Løsningen er paret som gir Summer -2.

$$a=2 b=-4$$

Skriv om -x^{2}-2x+8 som \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-4x+8\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-4x+8\right)$$

Faktor ut x i den første og 4 i den andre gruppen.

$$x\left(-x+2\right)+4\left(-x+2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet -x+2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(-x+2\right)\left(x+4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse -x+2=0 og x+4=0.

$$x=2 x=-4$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -2,0 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med x\left(x+2\right), som er den minste fellesnevneren av x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 4-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x+2 med 4.

$$4x+8-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x med x+2.

$$4x+8-x\times 4=x^{2}+2x$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}=2x$$

Trekk fra 2x fra begge sider.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}-2x=0$$

Kombiner 4x og -2x for å få 2x.

$$2x+8-x\times 4-x^{2}=0$$

Multipliser -1 med 4 for å få -4.

$$2x+8-4x-x^{2}=0$$

Kombiner 2x og -4x for å få -2x.

$$-2x+8-x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}-2x+8=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, -2 for b og 8 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 8}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 8}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\times 8}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+32}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 4 og 32.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{36}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 36.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±6}{2\left(-1\right)}$$

Det motsatte av -2 er 2.

$$x=\frac{2±6}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{2±6}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±6}{-2} når ± er pluss. Legg sammen 2 og 6.

$$x=\frac{8}{-2}$$

Del 8 på -2.

$$x=-4$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±6}{-2} når ± er minus. Trekk fra 6 fra 2.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Del -4 på -2.

$$x=2$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-4 x=2$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene -2,0 siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av formelen med x\left(x+2\right), som er den minste fellesnevneren av x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 4-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x+2 med 4.

$$4x+8-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x med x+2.

$$4x+8-x\times 4=x^{2}+2x$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}=2x$$

Trekk fra 2x fra begge sider.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}-2x=0$$

Kombiner 4x og -2x for å få 2x.

$$2x+8-x\times 4-x^{2}=0$$

Trekk fra 8 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$2x-x\times 4-x^{2}=-8$$

Multipliser -1 med 4 for å få -4.

$$2x-4x-x^{2}=-8$$

Kombiner 2x og -4x for å få -2x.

$$-2x-x^{2}=-8$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-2x=-8$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=-\frac{8}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=-\frac{8}{-1}$$

Del -2 på -1.

$$x^{2}+2x=-\frac{8}{-1}$$

Del -8 på -1.

$$x^{2}+2x=8$$

Del 2, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få 1. Deretter legger du til kvadrat firkanten av 1 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+2x+1^{2}=8+1^{2}$$

Kvadrer 1.

$$x^{2}+2x+1=8+1$$

Legg sammen 8 og 1.

$$x^{2}+2x+1=9$$

Faktoriser x^{2}+2x+1. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=9$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Forenkle.

$$x+1=3 x+1=-3$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$x=2 x=-4$$